联结词中的蕴含和等价

用真值表起个头：

P	Q	蕴含 $P\to Q$	等价 $P\leftrightarrow Q$
0	0	1	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	1	1	1

蕴含（条件 ^[1]）：

在蕴含式「如果 p 则 q」中，记作 $p\to q$ ^[2]，p 称为蕴含式的前件，q 称为蕴含式的后件。
q 是 p 的必要条件，p 是 q 的充分条件
当且仅当 p 为 T，q 为 F 时， $p\to q$ 为 F。^[3]
p 和 q 可以没有因果关系

等价（双条件）：

$p\leftrightarrow q$ ^[4] 表示的基本逻辑关系：p 与 q 互为充分必要条件，相当于 $(p\to q)\wedge (q\to p)$
p 仅当 q 可译为 $p\to q$
p 当 q 可译为 $q\to p$
p 当且仅当 q 译为 $p\leftrightarrow q$
等价联结词连接的两个命题之间可以没有因果关系。

「蕴含」的自然语言表述：“如果 p，则 q” 有很多不同的表述方法。

若 p，就 q
只要 p，就 q
因为 p，所以 q
p 仅当 q
只有 q，才 p
除非 q，才 p 或 除非 q，否则非 p

「当」和「仅当」的理解

英语中，当为 if，仅当为 only if。

下面对句子含义进行理解：

p 当 q： $q\to p$ $q \to p$
- 当 q 成立，p 必定成立。也就是说：如果 q 成立，p 成立。
p 仅当 q： $p\to q$ $p \to q$
- 当 q 成立，p可能成立，也可能不成立。只有 q 成立，p 才（可能）成立。
- q 若不成立，p 绝对成立不了。
- 因此一看见 p 成立了 q 必定成立。

例子理解

设 p 为我成功，q 为我努力。

p 当 q：当我努力，我就成功。
p 仅当 q：仅当我努力时，我才会成功。

尝试将这个例子代入上面的解释中。

综上：「当」是「如果…则…」的关系。「仅当」是「只有…才…」的关系。

这里也顺便解释了「只有…才…」和「除非…才…」。

看下面的真值表前需要先理解下表中命题真值的含义。命题真值的值为 1 时，说明符合上面的解释；命题真值为 0，说明存在冲突。

真值表：

语境	p	q	命题真值	代入上面的解释
当
	0	0	1	（善意的推定）
	0	1	0	当 q 成立，p 成立。与上面解释的意思相反，所以为假。
	1	0	1	（善意的推定）
	1	1	1	当 q 成立，p 成立
仅当
	0	0	1	q 若不成立，p 绝对成立不了。
	0	1	1	当 q 成立，p 可能成立，也可能不成立。
	1	0	0	p 成立了 q 肯定成立。与上面解释的意思相反，所以为假。
	1	1	1	当 q 成立，p 可能成立，也可能不成立。

「除非…否则…」的理解

上文提到“如果 p，则 q” 的表述方法中有一条：

除非 q，才 p 或 除非 q，否则非 p

「除非 q，否则 $\neg p$ 」理解为：

「除非具备q，如果不具备q，则 $\neg p$ 」
意思就是「如果 $\neg q$ ，则 $\neg p$ 」
即 $\neg q \to \neg p \iff p\to q$ 。

例子

设 p 为我成功，q 为我努力。
命题：除非你努力，否则你将失败。

解：

可以理解为：如果你不努力，则你将失败。
翻译： $p\to q$

案例练习

例子：「蕴含」的自然语言表达

设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化
(1) 只要天冷，小王就穿羽绒服。 $p\to q$
(2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服。 $p\to q$
(3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷。 $p\to q$
(4) 只有天冷，小王才穿羽绒服。 $q\to p$
(5) 除非天冷，小王才穿羽绒服。 $q\to p$
(6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷。 $p\to q$
(7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服。 $q\to p$
(8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候。 $q\to p$
提示： $\neg p \to \neg q$ 与 $q\to p$ 等值（真值相同，假言易位）

例子：双条件命题案例

燕子飞回南方，春天来了。
我们要学习好，为祖国的现代化建设而奋斗。

本文参考

左孝凌等人主编的《离散数学》
屈婉玲等人主编的《离散数学》第 2 版
研究生课程课件部分内容、本科生课程部分笔记
离散数学中，为什么在表示“所有人···”的时候使用蕴涵式，在表达“有的人···”的时候使用合取式？ - 知乎 (zhihu.com) 郭戴维的回答
逻辑 ∣ 除非…否则…如何破解？ - 知乎 (zhihu.com)逻辑判断的回答

在左孝凌主编的《离散数学》（P20-P22）中，「蕴含」一词有其他含义：当且仅当 $P\to Q$ 是一个重言式时，我们称「P 蕴含 Q」，并记作 $P\Rightarrow Q$ 。在研究生课程中没有刻意这样定义。仅给博主本人的提醒：有一个和它相似的概念「推理正确」，无论是研究生课程还是左孝凌的《离散数学》，「推理正确」定义相似。参考《离散数学》左孝凌 P20、P40。 ↩︎
联结词 $\to$ 亦可记作 $\supset$ 。 ↩︎
「善意的推定」，即前提为 F 时，条件命题真值取 T。左孝凌《离散数学》P7。 ↩︎
联结词 $\leftrightarrow$ 亦可记作 $\leftrightarrows$ ，或「iff」 ↩︎